[Mathematics] 수 체계: 실수의 집합, 연산법칙, 항등원, 역원

수 체계: 실수의 집합

실수(real numbers)의 집합 R의 부분 집합에는 자연수(natural numbers), 범자연수(whole numbers), 정수(integers), 유리수(rational numbers), 무리수(irrational numbers)와 같은 집합들이 있다. 하나씩 살펴보자.

 

자연수(natural numbers)의 집합 N은

N = {1, 2, 3, 4, 5, ...},

 

범자연수(whole numbers)의 집합 W는

W = {0, 1, 2, 3, ...},

 

정수(integers)의 집합 Z는

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...},

(참고로 이미지 속 sqrt(49)는 7이므로 정수가 맞다.)

 

유리수(rational numbers)의 집합 Q는

Q = {a/b | a, b는 정수이고 b≠0},

 

무리수(irrational numbers)의 집합 I는

I(정수의 나눗셈으로 나타낼 수 없는 수의 집합) = R - Q

ex: π, sqrt(2), sqrt(3), sqrt(5), ... *sqrt는 root를 나타냄

 

위와 같은 하위 집합들을 전체 포함하는 집합이 실수의 집합 R이다.

 

연산법칙

실수는 덧셈과 곱셈에 대한 교환법칙(commutative law), 결합법칙(associative law), 분배법칙(distribute law)이 성립하며, 실수의 집합 R의 임의의 원소 a, b, c에 대하여 다음 연산법칙이 성립한다.

	덧셈	곱셈
교환법칙	a + b = b + a	ab = ba
결합법칙	(a + b) + c = a + (b + c)	(ab)c = a(bc)
분배법칙	a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + ab

 

항등원

또한, 실수의 집합 R은 임의의 원소 a에 대하여 a와의 합이 자기 자신이 되는 R의 원소 0, 즉

a + 0 = 0 + a = a인 0을 덧셈에 대한 항등원(additive identity), 그리고

a · 1 = 1 · a = a인 1을 곱셈에 대한 항등원(multiplicative identity)이라 한다.

 

역원

실수의 집합 R의 임의의 원소 a에 대하여 a와의 합이 항등원 0이 되는 R의 원소 -a, 즉

a + (-a) = (-a) + a = 0인 -a를 a의 덧셈에 대한 역원(additive inverse), 그리고

a · a^-1 = a^-1 · a = 1 (a≠0)인 a^-1을 a의 곱셈에 대한 역원(multiplicative inverse)이라 한다.

 

실수를 넘어 복소수까지 확장하면 아래와 같이 표현할 수 있다.